Tuesday, April 14, 2015

音乐伟人 - 朱载堉

人类对音乐的热爱和追求是狂热的,古今不同民族,虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳,彼此也没有互相借鉴,但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。我国老祖宗在音乐上的辉煌成就,有点“墙内开花墙外香”的味道,确实有必要普及一下中国律学的历史。

音的高低有震动频率而来,从公元前5世纪直到17世纪,从管子记载的三分损益律到朱载堉的12平均律,历经2千多年才将一个八度音完整精确的均匀开来。十二平均律与二十四平均律的建立,用现代数学术语表述就很简单:为了把八度音程均匀地分成12个相等的间距,就应将八度的频率比值(2)开12次方,方根就是平均律半音的频率比值,再开平方就得到平均律1/4音的频率比值;但在历史上,这是以建立等比数列概念与掌握开方技术为前提的,曾经经历了漫长的探索。

在这历史长河中各国伟人巨匠们几乎可以说独立的探索,此中我们老祖宗们也上下求索,其中的佼佼者有管子,京房,荀勖,何承天,朱载堉。在朱载堉之前都不完善,直到这位音乐伟人将律学划上一个完美的句号,后来也被带到了西方。伟哉!

说到这里讲个题外话:中国明代的文明科技屹立世界之巅,如果不是毁于清朝,中国确实有一统天下的可能。

朱载堉是个全才,明王子19年为父鸣冤不出,后平反恢复曾7次拒绝接受王位,完全可以PK任何一个文艺复兴大师。最大贡献是他创建了十二平均律。此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴 ,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。在数学不发达的17世纪朱载堉用横跨81档的特大算盘,进行开平方、开立方
81档的特大算盘81档的特大算盘[15]
的计算,提出了“异径管说”,并以此为据,设计并制造出弦准和律管。朱载堉的“十二平均律”使这十二个键的每相邻两键音律的增幅或减幅相等。对这个音乐领域遗留了近二千年的学术难题,朱载堉经过几十年的潜心研究,终于以他的十二平均律之说解决了。或许音乐上的这种专业词汇让人费解,那么让量化一下:世界上已知的十有八九的乐器定音,都是在十二平均律的基础上完成的,它被西方普遍认为是“标准调音”、“标准的西方音律”。
  
17世纪,朱载堉研究出的十二平均律的关键数据———“根号2开12次方”被传教士通过丝绸之路带到了西方,巴赫【约翰·塞巴斯蒂安·巴赫(1685~1750)】根据它制造出了世界上第一架钢琴。如果把巴赫称为钢琴之父的话,朱载堉便可以称为钢琴之祖了。如果没有十二平均律,帕瓦罗蒂的《我的太阳》就没法演唱,因为此曲里面有转两个八度的音。中国著名的律学专家黄翔鹏先生说:“十二平均律不是一个单项的科研成果,而是涉及古代计量科学、数学、物理学中的音乐声学,纵贯中国乐律学史,旁及天文历算并密切相关于音乐艺术实践的、博大精深的成果。” 十二平均律是音乐学和音乐物理学的一大革命,也是世界科学史上的一大发明。

据《明史·艺文志》载,朱载堉的一生共著有《乐律全书》四十卷、《嘉量算经》三卷、《律历融通》四卷、《音义》一卷、《万年历》一卷、《万年历备考》二卷、《历学新说》二卷等(戴念祖先生在其《朱载堉———明代的科学和艺术巨星》一书中说《明史》记载有误,《律历融通》、《音义》等书均包含在《乐律全书》之中),内容涉及音乐、天文、历法、数学、舞蹈、文学等,是一个可以与李时珍、宋应星、徐光启、徐霞客齐名的重量级科学家,同时也是一位大百科全书式的学者。在他多达百万字的著述中,尤以《乐律全书》最为著名。
 
英人李约瑟博士力赞早在万历十二年他就已经证明了匀律音阶的音程可以取为二的十二次方根(即十二平均律),比欧洲人提前了数十年 。这一发现彻底解决了困扰人们千年的难题,是音乐史上的重大事件。现代乐器的制造都是用十二平均律来定音的。十二平均律理论被传教士带到了西方,产生了深远的影响,王子朱载堉也随之享誉欧洲。在《朱载堉———明代的科学和艺术巨星》一书中,戴念祖先生引用了德国物理学家赫尔姆霍茨的一段话:“在中国人中,据说有一个王子叫载堉的,他在旧派音乐家的大反对中,倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法,也是这个有天才和技巧的国家发明的。”
 
欧洲人在赞叹并实践朱载堉的发明,而在朱载堉的故乡中国,他的创造被束之高阁。在沉睡了四百多年之后,尽管朱载堉被重新认识和研究,但他仍然躺在学者的书房里。翻开任何一本历史教科书,无论是小学的或是中学的,很容易看到李时珍宋应星徐光启徐霞客的成就,而却难发现朱载堉的名字。正如李约瑟博士所说:“这真是不可思议的讽刺” 。

参考资料:
百度百科
李约瑟,《中国科学技术史·第一卷·第一分册》,科学出版社,2005,ISBN:97870301450170.
李约瑟,《中国科学技术史·第八章·第八节》,科学出版社,2005,ISBN:9787030145017.
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Friday, April 10, 2015

律学的解释

这个是转贴,写这个的人很牛,解释的真啊好哦,我这么笨的人也能似懂非懂:))

要介绍《十二平均律曲集》,就得先介绍什么是“十二平均律”。而要介绍“十二平均律”,就得先介绍什么是“律”。

“律”,即“音律”(intonation),指为了使音乐规范化,人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系,以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si,这7个音符就组成了一组音律。研究音律的学问叫做“律学”。也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音(当然也可以选择其它音)作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。

对于任何民族来说,只要他们有着丰富的音乐体验,只要他们想积累起关于音乐的知识,迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是,古今不同民族,虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳,彼此也没有互相借鉴,但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。(BTW:现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si,这些好像没有意义的单词,其实都是中世纪西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏(chant)的首音节。这些圣咏是西方现代音乐的源头。)

学过高中物理的都知道,声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的,也就是所谓的声波。所有的波(包括声波、电磁波等等)都有三个最本质的特性:频率/波长、振幅、相位。对于声音来说,声波的频率(声学中一般不考虑波长)决定了这个声音有多“高”,声波的振幅决定了这个声音有多“响”,而人耳对于声波的相位不敏感,所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

律学当然不考虑声音有多“响”,所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说,人耳能听到的声波频率范围是20HZ(每秒振动20次)到20000HZ(每秒振动20000次)之间。声波的频率越大(每秒振动的次数越多),听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”,高于20000HZ的叫“超声波”。(BTW:人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是,人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的,但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。另外,人耳在高音区的分辨能力迅速下降,原因见后。)

需要特别指出的是,人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说,100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音,人听起来并不觉得它们是“等距离”的,而是觉得越到后面,各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音,人听起来才觉得是“等距离”的(为什么会这样我也不清楚)。换句话说,某一组声音,如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……,即按2n的规律排列的话,它们听起来才是一个“等差音高序列”。(比如这里有16个音,它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。大家可以听一下,感觉它们是不是音越高就“距离”越近。用音乐术语来说,这些音都是110HZ的“谐波”(harmonics),即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。这个ogg文件可以用“暴风影音”/StormCodec软件来试听。)

由于人耳对于频率的指数敏感,上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说,×2就是一个“八度音程”(octave)。前面提到的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那个高音do,这两个do之间就是八度音程的关系。也就是说,高音do的频率是do的两倍。同样的,re和高音re之间也是八度音程的关系,高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do,其频率就是do的4倍。也可以说,它们之间隔了两个“八度音程”。显然,一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”,但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。

很自然,用do、re、mi写的歌,如果换用高音do、高音re、高音mi来写,听众只会觉得音变高了,旋律本身不会有变化。这种等效性,其实就是“等差音高序列”的直接结果。

“八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子(是用鹤的腿骨做的),它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系。

明白了八度音程的重要性,下面来介绍在一个八度音程之内,还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说,如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。

如果大家有学习弦乐器(比如吉它古琴小提琴)的经验的话,都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候,用手指按住弦的中点,即让原来全部振动的弦,变成两根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的。

由于弦乐器世界各地发展得最早的乐器种类之一,所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想:如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上2:1是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是3:1。那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍(因为弦长变成了原来的1/3),另一个音是原来的3/2倍(因为弦长变成了原来的2/3)。这两个音彼此也是八度音程的关系(因为它们彼此的弦长比是2:1)。这样,在我们要寻找的F~2F的范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2F。(那个3F的频率正好处于下一个八度,即2F~4F中的同样位置。)

接着再试,数学上简单性仅次于3:1的是4:1,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍(因为弦长变成了原来的1/4),这和原来的音(术语叫“主音”)是两个八度音程的关系,可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍(因为弦长是原来的3/4)。现在我们又得到了一个重要的频率,4/3F。

同一根弦,在不同的情况下振动,可以发出很多频率的声音。在听觉上,与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F(除了主音的各个八度之外)。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前6世纪)。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F。

得到这两个频率之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了,他们转而找3/2F的3/2F,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(3/2)2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围,进入了下一个八度。没关系,不是有“等差音高序列”吗?在下一个八度中的音,在这一个八度中当然有与它等价的一个音,于是把9/4F的频率减半,便得到了9/8F。接着把这个过程循环一遍,找3/2的3次方,于是就有了27/8F,这也在下一个八度中,再次频率减半,得到了27/16F。

就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(3/2)n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)5≈7.59,和23=8很接近,于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音F开始,我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和4/3F,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率,从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi……,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的,而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率,可以发现它们彼此的关系很简单:do~re、re~mi、fa~so、so~la、la~si 之间的频率比都是9:8,这个比例被称为全音(tone);mi~fa、si~do 之间的频率比都是256:243,这个比例被称为半音(semitone)。

“五度相生律”产生的7声音阶,自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过,如果按住弦的1/5点或者1/6点,得到的音已经和主音不怎么和谐了,现在居然出现了81/64和243/128这样的比例,这不会太好听吧?于是有人开始对这7个音的频率做点调整,于是就出现了“纯律”(just intonation)。

纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来,也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同(今意大利南部的塔兰托城)的亚理斯托森努斯(Aristoxenus of Tarentum)。(东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。)此人是亚理士多德的学生,约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵,而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇,不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。
  自然音阶也有7个音,但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是:F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧?也确实好听多了。这么简单的比例,就是“纯律”。

可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例,还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3(=5/4×4/3)F、15/8(=5/4×3/2)F。

虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听,数学上也简单,但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了,但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系,现在则出现了3种:9:8(被叫做“大全音”,major tone,就是原来的“全音”)、10:9(被叫做“小全音”,minor tone)、16:15(新的“半音”)。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说,如果比较自然音阶中的re和fa,其频率比是27/32,这也不怎么简单,也不怎么好听呢!所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上,“纯律”远没有“五度相生律”流行。

对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗?是因为(3/2)5≈7.59,和23=8很接近。可这毕竟是近似值,而不是完全相等。在一个八度之内,这么小的差距也许没什么,但是如果乐器的音域跨越了好几个八度,那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。

通过计算,古人发现(3/2)12≈129.7,和27=128很接近,于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次,便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F,现在就有了12个音符。

  注意,现在的“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了,而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶,其频率分别是:F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

  和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下,可以发现原来的7个音都还在,只是多了5个,分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#(读做“升C”)、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了,应该被叫做:C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下,就会发现它们之间的比例只有两种:256:243(就是原来的“半音”,也叫做“自然半音”),2187:2048(这被叫做“变化半音”)。

  也就是说,这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。(当然,如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话,就是严格的“距离”相等了。)原来的7声音阶中,C~D、D~E、F~G、G~A、A~B之间都相隔一个“全音”,现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

  既然C#被认为是从C“升”了半音得到的,那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的,所以C#和Db(读做“降D”)就被认为是等价的。事实上,5个新加入的音符也可以被写做:Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
  这种12声音阶在音乐界的地位,我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B,所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。

  从7声音阶发展到12声音阶的做法,在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶,后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

  能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢?可以的。12声音阶的依据就是(3/2)12≈129.7,和27=128很接近,按照这个思路,继续找接近的值就可以了嘛。

  还有人真地找到了,此人就是我国西汉的著名学者京房(77 BC-47 BC)。他发现(3/2)53≈2.151×109,和231≈2.147×109也很接近,于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们现在的计算器,计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。
  当然,京房的新律并没有流行开,原因就是53个音阶也太麻烦了吧!开始学音乐的时候要记住这么多音符,谁还会有兴趣哦!但是这种努力是值得肯定的,也说明12声音阶也不完美,也确实需要改进。

  “五度相生律”的12声音阶中的主要问题是,相邻音符的频率比例有两种(自然半音和变化半音),而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。(2187:2048)/(256:243)≈1.014。好像差不多哦?但其实自然半音本身就是256:243≈1.053了。

  如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话,每个半音就应该是相等的,各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说,真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢?因为在音乐的发展过程中,人们越来越觉得有“转调”的必要了。
  所谓转调,其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说,如果某一个人的音域是C~高音C(也就是以前的do~高音do),乐器为了给他伴奏,得在C~高音C之内弹奏旋律;如果另一个人的音域是D~高音D(也就是以前的re~高音re),乐器得在D~高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”,人们会觉得C~高音C之内的旋律和D~高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音,这种不和谐就会很明显。可以说,如果现在的钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高,那么只要旋律中涉及到许多黑键,弹出来的效果就会一塌糊涂。

  这种问题在弦乐器上比较好解决,因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求,有意地不在规定的指位上按弦,而是偏移一点按弦,就能解决问题。可是键盘乐器(比如钢琴、管风琴羽管键琴等)的音高是固定的,无法临时调整。所以在西方中世纪音乐理论里,就规定了有些调、有些音是不能用的,有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴,为了应付可能出现的各种情况,就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷,导致一方面作曲家觉得受到了限制,一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。

  问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的(3/2)12毕竟和27并不完全相等。之所以会出现两种半音,就是这个近似值造成的。

  对“五度相生律”12声音阶的进一步修改,东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天(370 AD-447 AD),他的做法是把(3/2)12和27之间的差距分成12份,累加地分散到12个音阶上,造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作,并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把(3/2)12和27之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系(这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐,即使是在12声音阶中也是如此),这种分散注定不是平均的,最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话,就必须破坏C和G之间的“纯五度”,以及C和F之间的4/3比例(术语是“纯四度”)。这样一来,虽然方便了转调,但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。

  一直到文艺复兴之前,西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”(Meantone temperament),就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下,把(3/2)12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协,大家其实都在等待新的音律出现。

  终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗?直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了?也就是说,真正的半音比例应该是21/12。如果12音阶中第一个音的频率是F,那么第二个音的频率就是21/12F,第三个音就是22/12F,第四个音是23/12F,……,第十二个是211/12F,第十三个就是212/12F,就是2F,正好是F的八度。

  这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律,从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上,而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中,复调音乐对于多重声部的偏爱,有了这个新音律之后,可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐,也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话,后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

  这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人,叫朱载堉(yù)。他是明朝的一位皇室后代,生于1536年,逝世于1611年。他用珠算开方的办法(珠算开12次方,难度可想而知),首次计算出了十二平均律的正确半音比例,其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜,他的发明,和中国古代其它一些伟大的发明一样,被淹没在历史的尘埃之中了,很少被后人所知。

  西方人提出“十二平均律”,大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然,反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。
  “十二平均律”的12声音阶的频率(近似值)分别是:F(C)、1.059F(C#/Db)、1.122F(D)、1.189F(D#/Eb)、1.260F(E)、1.335F(F)、1.414F(F#/Gb)、1.498F(G)、1.587F(G#/Ab)、1.682F(A)、1.782F(A#/Bb)、1.888F(B)。

  注意,现在所有的半音都一样了,都是21/12,即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。

  另外,原来“五度相生律”的12音阶中,C和G的比例是3/2(即纯五度),现在“十二平均律”的12音阶中,C和G的比例是1.498,和纯五度所要求的3/2(1.5)非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中,C和F的比例是4/3(即纯四度),现在“十二平均律”的12音阶中,C和F的比例是1.335,和纯四度所要求的4/3(1.333)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题,所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。现在的钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。现在学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。现在如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi,已经很不容易了。

  BTW:现在钢琴的音高标准是按“中央C”(即通常的do)右边的第五个白键(按术语说是A4)的频率来定的。这个A键的频率被确定为440HZ。确定了它,钢琴上其它键的频率都可以按“十二平均律”类推得到。不过在某些国家(比如东欧),也有把这个键的频率定为444HZ的。历史上,这个A键的标准曾经有过很多次变化。比如在1759年,英国剑桥的“三一学院”(Trinity College Cambridge)的管风琴的这个A键,就曾经被定在309HZ。可以想像在这里听到的旋律和我们现在听到的旋律该有怎样大的差别。研究古代音乐家的作品的时候,对于当时音高标准的研究也是很重要的一部分。(关于音高标准在历史上的变化,可以参考这里。)

  关于“十二平均律”,最后要提的是所谓“大调”、“小调”的问题。自从“五度相生律”提出12音阶以来,12音阶和原来的7音阶之间的关系一直就被人们所研究。也就是说,在原来的7音阶之外,现在人们可以在12音阶中选取其它的7个音来作为音乐的“标尺”了。这可以给作曲家们以更大的创作自由。

  以C~高音C的八度为例,如果我们选择原来的7音阶,即C、D、E、F、G、A、B,这就被称为“大调”(major scale),又因为这个大调的主音是C,所以被称为“C大调”。而如果我们选择C、D、D#(Eb)、F、G、G#(Ab)、A#(Bb),这就被称为“c小调”(C minor scale)。用小写c的原因是表示这是小调。

  大调和小调的区别就在于,大调和小调里各音之间的“距离感”不同,以它们为基础来作曲,给听众的感觉也不相同。这就让作曲家有了用音乐表现不同情绪的机会。

  西方中世纪的音乐理论里,曾经提出了8种不同的方法在12音中选7个音作为基准,其中就包含了我们现在谈的大调和小调。当时的音乐理论给予这8种调性(mode)以不同的感情色彩,比如有的被认为是“悲伤的”,有的被认为是“快乐的”,有的被认为是“朝气蓬勃的”等等。这8种调性中有一些现在已经很少用了,现在最流行的是大调和小调这两种。
  由于“十二平均律”允许随意转调,这就让作曲家可以更为地自由创作。以前由于各音之间的半音“不等距”的问题,有些调被认为不能写作的,现在也可以毫无阻碍的进行创作了。

Wednesday, April 8, 2015

伟牛人毕爷!

(一)

最近在网上学习伯克利音乐教程,阅读了大量基础音乐理论,勉强知道一点音乐理论基础,其中Jonathan Harnum和伯克利音乐学院大师Paul Schmeling的书看了N遍,怎么觉得音乐这么难啊,尤其是对我们这样没有天赋的又喜欢音乐的,真是煎熬啊。

无意中得知牛人毕达哥拉斯(以下简称毕哥或毕爷),第一个注重“数”的人,毕达哥拉斯定理的证明演绎者,还证明了正多面体的个数;毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~约前500)思想家、哲学家、数学家、科学家,其实他也是一个灰常牛的音乐家(我不是福建人:)

十二平均律,是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分成十二等份,每一等份称
为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。 将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近,人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。

音乐中,当两个八度音(例如低音do和高音do)同时奏响的时候,我们会听到极和谐的声音,仿佛是一个声音一样。若是do和mi同时奏响,听起来就远没有那么和谐。而低音do和高音do和谐的原因,在于高音do振动的频率,刚好是低音do的两倍。

西方最早提出“五度相生律”的就是毕哥(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

毕哥从小就向往东方文明古国,经过万水千山,游历了当时世界上文化水准极高的文明古国——中国巴比伦和印度,以及埃及(有争议),完美音程就由毕爷带入西方,其实我国(中)的历史还真是辉煌!

毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则,万物之母,也是智慧;“2”是对立和否定的原则,是意见;“3”是万物的形体和形式;“4”是正义,是宇宙创造者的象征;“5”是奇数和偶数,雄性与雌性和结合,也是婚姻;“6”是神的生命,是灵魂;“7”是机会;“8”是和谐,也是爱情和友谊;“9”是理性和强大;“10”包容了一切数目,是完满和美好。

其中五度相生律就是5,5是万物之本质,25得10,所以10是十全十美。在公元前500多年毕爷就指出:地球沿着一个球面围绕着空间一个固定点处的“中央火”转动,另一侧有一个“对地星”与之平衡。这个“中央火”是宇宙的祭坛,是人永远也看不见的。这十个天体到中央火之间的距离,同音节之间的音程具有同样的比例关系,以保证星球的和谐,从而奏出天体的音乐。所以九大行星和太阳组成十全十美的格局。

上帝真是不公平,造成毕爷这样伟大的牛人,也造成我这样渺小的愚人。对了,毕爷定理就是大家熟悉的勾股定理。写到这里才知道重庆崽儿的小伟大,音乐就是数学,怪不得这么深奥。其实毕爷说了:万物皆数!晕乎!

(二)
毕爷不吃豆子的传说

上回说到古希腊的毕爷曾游历古中国引起网上一些有识之士胡哥老七的疑问,疑问得好!作为一个我国(中)人的美好愿望就是毕爷确实游历古中国并和孔子切磋过武功。我们的孔夫子和他基本是同一个时代,孔子的功夫大家应该没有疑议吧(争议?:)。

《说文解字》说:“儒,柔也。术士之称。”且不说后来巴西的柔术是否受了孔子的影响,看看孔子还向他的弟子们传授六艺,即礼、乐、射、御、书、数,其中的射艺指的是:白失、参连、剡注、襄尺、井仪五科,同时,孔子也涉猎过兵法,他弟子子路也是勇力过人、武艺高强,所以基本可以看出孔子的武功确实非等闲之辈。

大凡这些史上一等一的伟人都融会贯通,学啥啥牛。回到毕爷有机会查证一下他的武功,他的前世是赫尔墨斯的儿子,叫Aethalides ,赫尔墨斯允许他可以选择除不朽之外任何他所喜欢的能力,呵呵。另外这些伟人有一共同特点就是:“述而不作”, 耶稣没写啥,留下的圣经都是门徒写的;一部《论语》也是弟子们记录孔子言行而留传下来的典籍;同样毕爷的东西也全是他的“南意大利派”弟子们给传下来的。毕爷的神秘色彩似乎也离不开浓厚的宗教色彩,看看他的15条诫命就知道,今个絮叨一下毕爷不吃豆子的传说。

毕爷派15大规矩第一:

1.禁食豆子。就是不吃豆子。
 
这个千古疑案有很多传说,列举几个靠谱的:):

第一:据亚里士多德在其《论毕达哥拉斯派》(On the Pythagorian)中说,毕达哥拉斯忠告人们戒食豆子,或者是因为它们的形状像睾丸,或者是因为它们像哈德斯的大门……一个一个单独而没有连接起来,或者是因为它们有害,或者是因为它们像宇宙的形状,或者是因为它们属于寡头政治,因为人们用它们来抽签选举。”——第奥根尼·拉尔修《名哲言行录》

第二:毕格达拉斯不吃豆子.他认为豆子像人的胚胎,是生命,是有灵魂的。

第三:那时候的选举时有豆子,红豆表示同意,黑豆表示反对。也许毕爷最初用意就是告诫弟子远离豆子,就是远离政治,反手为云覆手为雨的;后来就传下的不吃豆子之说。

有识之士胡哥老七们可以质疑,欢迎板砖,俺就是抛砖引玉,比不上网友周老虎随便絮叨里都透着深深的文化底蕴,不服不行!

再絮叨一下毕爷的前世,一知半解,心中确实膜拜这些伟牛人:

Aethalides:这就是毕达哥拉斯的第一代,一个半神半人的人物。这个人在古希腊的传说中有点名气,锡罗斯的弗瑞西德斯(Pherecydes)在《五籁集》(Fivechasm)中提到过他。

Euphorbus:他的第二世身处英雄时代,Panthous和Phrontis的儿子,是特洛伊战争期间特洛伊英雄。Euphorbus后来被墨涅拉俄斯打死。他显然特洛伊功夫最好的战士之一,还去过冥界有上天入地的飘游经历。

Hermotimus:从半神半人到普通人,Hermotimus的灵魂会在睡眠中离开了他的身体,仿佛在旅途中漫游。他的妻子背叛引来他的敌人烧了他的身体,而他已经睡着了,他的灵魂回归为时已晚。毕达哥拉斯曾经记忆起他以前的生活,一个就是Hermotimus。

Pyrrho:古典时代的希腊哲学家,公认为第一名怀疑主义哲学家并由他诞生了Pyrrhonism,由埃奈西德穆在公元前1世纪成立。此人死后毕爷出来了。

(三)完美音程

对于任何民族来说,只要他们有着丰富的音乐体验,只要他们想积累起关于音乐的知识,迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是,古今不同民族,虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳,彼此也没有互相借鉴,但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。

“律”,即“音律”(intonation),指为了使音乐规范化,人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系,以及这些音符之间的相互关系。研究音律的学问叫做“律学”。所有的波(包括声波、电磁波等等)都有三个最本质的特性:频率/波长、振幅、相位。对于声音来说,声波的频率(声学中一般不考虑波长)决定了这个声音有多“高”,声波的振幅决定了这个声音有多“响”, 律学当然不考虑声音有多“响”,所以律学研究的重点就是声波的频率。

由于人耳对于频率的指数敏感,上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说,×2就是一个“八度音程”(octave)。 很自然,用do、re、mi写的歌,如果换用高音do、高音re、高音mi来写,听众只会觉得音变高了,旋律本身不会有变化。这种等效性,其实就是“等差音高序列”的直接结果。  “八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子(是用鹤的腿骨做的),它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系。

可怜的人的耳朵,一般来说,人耳能听到的声波频率范围是20HZ(每秒振动20次叫次声波)到20000HZ(每秒振动20000次叫超声波)之间,人耳能分辨的最小频率差是2HZ。

毕爷是最早从数学上研究弦的振动问题的。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F。与主音F最和谐的3/2F已经找到了,接着转而找3/2F的3/2F,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(3/2)2F即9/4F。

接着把这个过程循环一遍,找3/2的3次方,于是就有了27/8F,这也在下一个八度中,再次频率减半,得到了27/16F。 就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(3/2)n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)5≈7.59,和23=8很接近,于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音F开始,我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和4/3F,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率,从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi……,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的,而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率,可以发现它们彼此的关系很简单:do~re、re~mi、fa~so、so~la、la~si 之间的频率比都是9:8,这个比例被称为全音(tone);mi~fa、si~do 之间的频率比都是256:243,这个比例被称为半音(semitone)。

Wednesday, April 1, 2015

谌龙有悔

谌龙终于2015年全英公开赛中战胜师哥超级丹,不管是超级丹老了,还是承让,我很欣慰,不由地想起:潜龙勿用,见龙在田,飞龙在天,亢龙有悔,哈哈。

一直注意谌龙的成长,也比较欣赏他的风度,记得和小李飞刀对决时曾击拍为对手的精彩招数喝彩。在完胜小李飞刀和超级丹后,谌龙应该说当之无愧地登上华山论剑之巅峰。

乾卦的爻辞是:初九,潜龙勿用;九二,见龙在田,利见大人;九三,君子终日乾乾,夕惕若厉,无咎;九四,或跃在渊,无咎;九五,飞龙在天,利见大人;上九,亢龙有悔;用九,见群龙无首,吉.

把乾卦六爻逐一解开来看,乾卦这个密码给我们的就是六个字而已:潜〔潜龙〕、现〔现龙〕、惕〔惕龙〕、跃〔跃龙〕、飞〔飞龙〕、亢〔亢龙〕.

第一个阶段叫潜.就是潜藏起来,暂时不要表现.

第二个阶段叫现.中国人通常不会马上表现出来,都是先藏一藏,然后才表现出来.

第三个阶段叫惕,警惕的意思.如果你不表现,偶尔不警惕倒还无所谓;一旦表现了,再不警惕,那么你所有的缺点都会慢慢暴露出来.记住一句话,你只一表现,四面八方的打击就可能都来了,所以一定要提高警惕,防范打击.

第四个阶段叫跃.你要想办法,找机会去跃登龙门.一生一世就登这个机会,看看跃不跃得过去.一登龙门,就身价百倍,否则就算了,准备离休好了.

第五个阶段叫飞.这是人生的一个转折点,跃上去,飞龙在天,不得了,所以叫飞.

第六个阶段叫亢,警惕意味很重.飞龙在天,很荣光,可是《易经》劝我们,当发展到第五个阶段的时候,大概要适可而止了,不能再过分了,再过分就是高亢,所以第六个阶段叫做亢,“亢龙有悔”.

谌龙有悔,飞龙在天。奉上2015全英赛中对阵丹麦大将约根生的精彩视频。